球王会官方干涉术：白光扫描干涉显微镜白光扫描术

　　本文基于我的一个回答之上，对白光扫描干涉术（white light scanning interferometry）进行整理、公式推导以及补充说明。而另外两种白光干涉术（白光相移干涉术、白光消色差相移术）以后再写两篇文章。

　　本文默认各位读者已经了解什么是光的干涉，建议可先详细了解干涉相关基础知识再阅读本文，可以参考上一篇文章：

　　白光在干涉仪中的定义通常是较大频宽组分构成的光源，视觉上人们看到的是白色。其具有时间同调性/相干性差的特点，干涉现象不是那么容易被找到，且产生干涉的范围通常只有数微米。如下图所示，若干束不同频率的电磁波产生干涉（左），产生的干涉电磁波会形成一个干涉波包（右）[1]。

　　光源的同调长度（相干长度，英文都是coherence length）计算通常可以用下面这条公式：

　　推导过程（来自本人文章：干涉术：光的干涉原理，四、相干性的定量计算及规律， A.时间相干性）：

　　光源视作若干个强度i_{0}、元波数为dk的元光源集合，引用干涉光强公式，设干涉两光束光强一样I_{1}=I_{2}=I_{0}，波数宽度\Delta k（中点k_{0}）， 相位差\delta，相干长度\Delta l：

　　其中L_{c}为同调长度，\lambda为波长，\Delta f为频宽，\Delta \lambda为波长的带宽。这是一个估算公式，可以估算出该光束理想状况下，沿光传播方向上能够形成干涉条纹的空间长度。

　　为什么说这是一个估算公式呢？因为整个推导过程中有一个非常重要的前提：式（3），光源的波长是连续、可积分的，并且干涉的光强只是对相干性的函数，各频率组分的光强/功率应该相同，即若干个强度i_{0}、元波数为dk的元光源集合，元光源强度i_{0}为常数：

　　世界上大多数白光光源都不会是各频率/波长组分功率分布均匀的，以下为各种常见白光光源的光谱，每一种光源的光谱和其发光形式密切相关：

　　所有的白光光源，干涉时在相干长度内都有产生干涉波包（Interference Wavepack）的现象：

　　在白光干涉的光束中，干涉条纹的明暗变化并非均匀的，如上图所示。这一点应该很好理解，两个不同频率的光相互干涉会有拍频现象（Beat frequency）：

　　而多频光的拍频现象又更为复杂，理想状况下（即光线强度不衰减）每过光源各波长组分的最小公倍数的距离，就会产生一个这样的干涉波包（即拍频的一个周期，多个频率在干涉波包处具有相同的相位）。相较于单色光，单色光干涉相邻两像素点光程差必须小于½波长，由于反射式显微镜取样点光程差经过反射被放大一倍，所以实际系统测量的平面高度必须小于四分之一波长，否则会出现相邻两个甚至更多个干涉周期的条纹影像互相混叠，无法确定表面高度。

　　虽然理论上若是两个阶高间距离是一个各波长组分最小公倍数的距离时，光线接收端会收到两个一样的波包强度，但是由于显微镜物镜的景深较浅、这个各波长组分最小公倍数相对于物镜景深距离过大，所以基本不会发生扫描到两个不同阶干涉波包的问题。

　　由于干涉现象只会在相同光程差的位置发生，控制参考面与待测面的相对位置，只会在特定光程差的位置上形成干涉。因此，我们可以通过连续改变待测物到参考面的距离，记录待测面上不同高度点产生相应干涉条纹峰值的位置，就可以获得待测面的表面高度形貌。

　　如下图所示，CCD上不同水平位置上的像素点会在不同的垂直位置上获得相应干涉波包的明暗变化。只要我们能够获得干涉波包的峰值位置，我们就可以获得相应水平位置的表面高度，进而还原出待测面的表面轮廓。当然，这一切都是相对位置。

　　在白光扫描干涉术中，干涉产生的波包显然越小、对比度越高，在待测表面获得的干涉讯号越准确清晰。而光源的频宽过大时，所具有的同调长度过小，产生的干涉讯号会不易被侦测到，其零阶干涉条纹更是不易被侦测。因此对于白光扫描干涉术中所用的白光光源，要求频宽/带宽适中就好。

　　※对于以上的白光光源，计算其中心波长是没有意义的。中心波长的定义是各波长光对功率谱的加权平均：

　　以白光LED为例，白光LED应该是电场激发某一波长谱段的光后进行二次激发产生第二个波段的光，像上图中的LED光谱是首先激发蓝光然后蓝光激发绿光荧光材料产生的光谱，所以蓝光光谱波峰高于绿光。也因为这个发光原理，这就更类似于两个频率的光混合在一起而不是一个连续的频谱。对于不连续且频宽很大的光谱，其相干长度比式（3）计算获得的理想值要更低。此类的干涉讯号通常只有若干个（甚至可能只有三到五个）周期的干涉条纹，并且其干涉条纹只能通过实验观测确认实际相位周期，因此只适合于白光扫描干涉术进行峰值扫描而不适合白光相移干涉术。对于上一小节介绍的各种光源，若要使用白光相移干涉术，则需要使用合适的带宽滤波片配合白光光源（氙气灯比较合适）来获得合适的光谱带宽与均匀的功率分布。

　　PZT是一种压电材料(锆钛酸铅piezoelectric ceramic transducer），其中P是铅元素Pb的缩写，Z是锆元素Zr的缩写，T是钛元素Ti的缩写。将二氧化铅、锆酸铅、钛酸铅在1200度高温下烧结而成的多晶体。

　　PZT在白光干涉仪中提供的作用是通过给予电压信号来产生微量位移，以进行相同间距的位移进行逐层扫描。垂直方向能够获得的每一步的微量位移量决定了垂直方向的取样间隔，虽然可以通过机械机构来获得微量位移但是其每一步的位移很难控制在非常均匀的步阶长度上，而用电压驱动的PZT则可以将电讯号精确转换为位移，获得均匀的步阶运动，且每一步的位移可以控制的非常精确。

　　PZT产生微量位移的原理是压电效应，于1880年由居里兄弟（Pierre Curie ＆ Jacgues Curie，那年，未来的玛丽·居里还只有13岁）发现晶体的压电效应对电气石施加机械应力，可在电气石表面得到电荷，此效应称之为正压电效应(Direct Piezoelectric Effect)。

　　而此后居里兄弟利用李普曼(M.G. Lippmann)的热力学理论证实了压电性的逆效应：正压电效应(Converse Piezoelectric Effect)存在，即外加电压于电气石，则电气石产生机械变形。

　　压电元件因受本身材料迟滞现象与潜变的影响，所以在位移上所呈现之曲线并非完全线性。由于压电元件有先天性迟滞现象，因而产生偏压—变形时，会产生迟滞效应。迟滞效应会造成上升曲线与下降曲线不一致之情况产生，所造成的误差因压电材料材质不同约有2%~5%之误差量。

　　除上述迟滞现象之外，压电元件存在潜变的现象，当施予压电元件步阶电压时，压电的位移量随时间的增加而变大，此种现象称为潜变。另外，当步阶电压为0V时，位移量并不会返回初使位置，而造成残留位移量。

　　在白光扫描干涉仪等光学精密测量中，PZT作为移相或逐层扫描驱动器用于各类干涉仪，作为奈米精度的微位移执行器驱动各种精密平移台，以及用于精密位移或压力传感器等。因此，PZT的非线性将直接影响到相移的精度，这也是为什么PZT的位移需要一个非常硕大的，其中包括设计压电陶瓷微位移反馈控制电路、利用傅立叶变换复原干涉条纹相位以及建立数学模型采取对非线性误差不敏感的算法等。采用上述方法可以明显改善PZT的非线性,但他们或者需要复杂的控制电路、较多的仪器设备，或者需要精确的数学算法，所以这个价格不菲，却相当重要。

　　如下图所示，连接转换器与物镜的那个黑色夹具就是PZT。它分为两个部分，上端夹具螺纹连接着显微镜转换器，下端夹具固定物镜。

　　PZT需要（controller）提供电压来控制其位移量。下图中所展示的是PI公司的PZT产品配套，用以控制PZT与显微镜转换器和物镜两个夹具之间的微量位移。由于PZT与物镜转换器不共轴，因此会存在微量的阿贝误差。但是由于PZT扫描目的是获得相对的微量位移量，因此在逐层扫描的过程中，阿贝误差可通过对初始位置的定义归零而抵消。（关于阿贝误差，属于精密量测领域的第一大定理，以后再写文章发在另外的专栏里面：机械工程：我的造物者之路）

　　PZT扫描的过程中可能会出现环境扰动，使得量测接收到的干涉讯号分布产生变形失真，亦或者是用的PZT并不能很好地提供稳定线性的步进位移（比如口袋没钱去买好之类的......），也是有办法通过检测白光扫描干涉仪中的扫描位置来校正信号，这是2019年华侨大学与日本新舄大学合作，发表在OSA上的一篇研究：

　　这篇研究通过将分束器放在摄像机前面，以便将白光扫描干涉仪（WLSI）的干涉光束分开一支通向激光干涉仪，并在光电二极管的前面放一个带通滤波器（此文章中使用的是中心波长和带宽分别为633 nm 和 3 nm），虑出其中一个频率组分的干涉光束，用激光干涉仪以检测干涉的信号以此获得扫描过程中扫描位移随时间的变化过程。

　　这样就获得了两组时域讯号：白光扫描干涉扫描过程中获得的波包讯号z_{c}(t)、白光某一个波长带宽组分的干涉讯号S(t)。其中S(t)就是拿来作为参照的讯号，其较窄的频宽使得其干涉讯号更接近于一个正弦波，不过这个正弦波的相位会受到外界扰动产生的光程差（OPD）影响其相位分布：

　　从WLSI 中分离检测到的干涉讯号S(t)中获取随时间变化的 OPD或空间扫描位置，并将计算出的空间扫描位置z_{c}映射到在WLSI中扫描到的干涉信号z_{c}(t)的相应时间采样点。

　　从时间取样点转化为空间取样点，这样就可以消除 PZT 的非线性运动和由外部干扰引起的随机噪声的影响：

　　如图所示，原本略微变形失真的干涉波包经过校正干变得更为对称。实验结果也表明，该校正方法测量3μm的阶高，误差小于2nm

　　针对不同高度上的白光干涉信号扫描，就是白光干涉仪的作动目的。在求取三维表面信息上，白光干涉利用两道相同特性的白光在零光程差时条纹对比最明显之特性， 来判定零光程差的发生位置，借此取得待测物体的三维表面形貌变化。

　　下图为迈克生式架构白光干涉显微镜，不过与传统迈克生干涉仪相比，其参考面整合在Mirau物镜内。Mirau物镜的参考面位置是矫正过的，以保证干涉面与焦面在同一平面中。

　　除了Mirau物镜以外，也有其他两种干涉形式。不过Mirau物镜的结构最为紧凑，且能够较好的抵抗部分振动的影响，所以通常都会使用Mirau物镜作为白光干涉显微镜的物镜。

　　Mirau物镜的原理很简单，就是将迈克生式干涉架构的参考面放在了物镜内部。如下图光路示意图所示，光线射从①入物镜后，在②分光镜（BS）分为反射光到④参考镜和透射光到③待测面，参考镜反射的参考光与待测面反射的物光重新汇合在分光镜上经由分光镜反射回物镜入光光瞳，形成干涉。

　　在扫描的过程中，待测面只有在某个高度上才能获得最强的干涉条纹光强。不过PZT作动仍然存在最小步阶，每一步大概在几十纳米左右，获得的并非严格意义的连续光强变化，仍然存在取样率的问题。因此还需要进一步的拟合运算，将光强-垂直扫描位置的关系拟合成连续的波包光强-垂直位置的函数，通过函数上最强光强值对应的垂直位置来确定该点扫描获得的相对位置。这样，白光扫描的精度可以达到纳米甚至亚纳米级的精度。（这个算法有很多种方法，可以用质心算法centroid algorithm，也可以直接用MATLAB暴力拟合出来一个波包的强度-位置函数，总之目的是获得光强最大值的以及其高度位置信息）

　　由于使用垂直扫描技术，因此垂直扫描范围必须包含影像中待测物体的表面起伏范围，若是待测物体表面倾。